Historia de las Matemáticas

A través de la historia…

Las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica, ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

En los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fracción B, para expresar todas las fracciones. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

Las matemáticas en Grecia

           Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos.

Las matemáticas en la edad media

           En Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de estos matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin embargo, los primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el mundo árabe.

Las matemáticas en el mundo islámico

En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe Al-Jwarizmì, (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra), desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la publicación del "De triangulis omnimodis" (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

Las matemáticas durante el renacimiento

Aunque el final del período medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su "Ars magna".

Avances en el siglo XVII

El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.

           Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el " Ars coniectandi" (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su "Doctrina del azar" de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.

Situación en el siglo XVIII

Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Gaspard Monge la geometría descriptiva.

Las matemáticas en el siglo XIX

En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.

           Un problema más importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle —estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.

Las matemáticas actuales

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico "Fundamentos de la geometría" (1899) a su "Fundamentos de la matemática" en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los "problemas de Hilbert" ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.

 Geometría

Rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.

Álgebra

Rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 × 3 es 32; de la misma manera, a × a es igual que a2.

Through history…

Mathematics was considered as the science of quantity, referred to magnitudes (as in geometry), to numbers (as in arithmetic), or to the generalization of both (as in algebra). By the middle of the nineteenth century mathematics began to be regarded as the science of relationships, or as the science that produces necessary conditions. This last notion embraces mathematical or symbolic logic, a science that consists in using symbols to generate an exact theory of deduction and logical inference based on definitions, axioms, postulates, and rules that transform primitive elements into more complex relationships and theorems.

In the prehistoric designs of ceramics, textiles and rock paintings one can find evidence of the geometrical sense and interest in geometric figures. Primitive calculus systems were probably based on the use of one- or two-handed fingers, which is evident from the great abundance of numerical systems in which the bases are numbers 5 and 10.

The earliest references to advanced and organized mathematics date back to the third millennium BC in Babylon and Egypt. These mathematics were dominated by arithmetic, with some interest in geometric measurements and calculations and without mention of mathematical concepts such as axioms or demonstrations.

The Egyptians used sums of unit fractions (a), together with fraction B, to express all fractions. Using this system, the Egyptians were able to solve arithmetic problems with fractions as well as elemental algebraic problems. In geometry they found the right rules for calculating the area of ​​triangles, rectangles and trapezoids, and the volume of figures such as orthohedra, cylinders and, of course, pyramids. To calculate the area of ​​a circle, the Egyptians used a square of side U of the diameter of the circle, very close to that obtained using the constant pi (3.14).

Mathematics in Greece

The Greeks took elements of the mathematics of the Babylonians and the Egyptians. The most important innovation was the invention of abstract mathematics based on a logical structure of definitions, axioms and demonstrations. According to Greek chroniclers, this advance began in the sixth century BC. With Thales of Miletus and Pythagoras of Samos

Mathematics in the Middle Ages

In Greece, after Ptolemy, established the tradition of studying the works of these mathematicians of previous centuries in the schools. The fact that these works have been preserved to this day is mainly due to this tradition. However, the first mathematical advances resulting from the study of these works appeared in the Arab world.

Mathematics in the Islamic world

 In the twelfth century Persian mathematician Omar Jayyam generalized Indian methods of extracting square and cubic roots to calculate fourth, fifth and fifth degree roots. The Arabic mathematician Al-Jwarizmì (from his name comes the word algorithm, and the title of one of his books is the origin of the word algebra), he developed the algebra of the polynomials; Al-Karayi completed it for polynomials even with infinite number of terms. The geometers, like Ibrahim ibn Sinan, continued the investigations of Archimedes on areas and volumes. Kamal al-Din and others applied the theory of conics to the resolution of optical problems. The mathematicians Habas al-Hasib and Nasir ad-Din at-Tusi created flat and spherical trigonometry using the sine function of the Indians and Menelaus's theorem. These trigonometries did not become mathematical disciplines in the West until the publication of the "De triangulis omnimodis" (1533) of the German astronomer Regiomontano.

Mathematics during the Renaissance

Although the end of the medieval period witnessed important mathematical studies on problems of the infinite by authors like Nicole Oresme, it was not until the early sixteenth century when a mathematical discovery of transcendence was made in the West. It was an algebraic formula for the resolution of the third and fourth degree equations, and was published in 1545 by the Italian mathematician Gerolamo Cardano in his "Ars magna".

Advances in the seventeenth century

The century began with the discovery of logarithms by the Scottish mathematician John Napier (Neper); Its great utility led the French astronomer Pierre Simon Laplace to say, two centuries later, that Neper, by reducing the work of astronomers by half, had doubled his life.

Another important advance in the mathematics of the seventeenth century was the appearance of the theory of probability from the correspondence between Pascal and Fermat on a problem present in gambling, the so-called problem of points. This work was not published, but led the Dutch scientist Christiaan Huygens to write a small booklet on probability in dice games, which was published in the "Ars coniectandi" (1713) by the Swiss mathematician Jacques Bernoulli. Both Bernoulli and Frenchman Abraham De Moivre, in their "Doctrine of Chance" of 1718, used the newly discovered calculation to advance rapidly in their theory, which by then had great applications in thriving insurance companies.

Situation in the 18th century

During the rest of the seventeenth century and much of the eighteenth century, Newton and Leibniz's disciples relied on their work to solve various problems of physics, astronomy and engineering, which allowed them, at the same time, to create new fields within mathematics . Thus the brothers Jean and Jacques Bernoulli invented the calculus of variations and the French mathematician Gaspard Monge the descriptive geometry.

Mathematics in the 19th century

In 1821, a French mathematician, Augustin Louis Cauchy, got a logical and appropriate approach to calculus. Cauchy based his view of calculus only on finite quantities and the concept of limit. However, this solution posed a new problem, that of the logical definition of real number. Although Cauchy's definition of calculation was based on this concept, it was not he but the German mathematician Julius W. R. Dedekind who found a suitable definition for real numbers, from the rational numbers, which is still taught today; The German mathematicians Georg Cantor and Karl T. W. Weierstrass also gave other definitions almost at the same time.

A more important problem that arose when attempting to describe the vibrational motion of a quay - first studied in the eighteenth century - was to define the meaning of the word function. Euler, Lagrange and the French mathematician Joseph Fourier provided solutions, but it was the German mathematician Peter G. L. Dirichlet who proposed its definition in the present terms.

Current Mathematics

At the International Mathematical Conference held in Paris in 1900, the German mathematician David Hilbert expounded his theories. Hilbert was a professor at Göttingen, the academic home of Gauss and Riemann, and had contributed substantially in almost all branches of mathematics, from his classic "Foundations of Geometry" (1899) to his "Foundations of Mathematics" in Collaboration with other authors. Hilbert's lecture in Paris consisted of a review of 23 mathematical problems that he believed might be the goals of mathematical research of the beginning of the century. These problems, in fact, have stimulated much of the mathematical work of the twentieth century, and every time news comes that another "Hilbert problem" has been solved, the international mathematical community awaits details impatiently.

 Geometry

Mathematical branch that deals with the properties of space. In its most elementary form, geometry is concerned with metrical problems such as calculating the area and diameter of flat figures and the surface and volume of solid bodies. Other fields of geometry are analytic geometry, descriptive geometry, topology, geometry of spaces with four or more dimensions, fractal geometry, and non-Euclidean geometry.

Algebra

A branch of mathematics in which letters are used to represent arithmetic relationships. As in arithmetic, the fundamental operations of algebra are addition, subtraction, multiplication, division, and calculus of roots. Arithmetic, however, is not able to generalize mathematical relationships, such as the Pythagorean theorem, which states that in a right triangle the square side area of ​​the hypotenuse is equal to the sum of the areas of the squares of side the Cathets Arithmetic only gives particular cases of this relation (eg, 3, 4 and 5, since 32 + 42 = 52). Algebra, on the other hand, can give a generalization that satisfies the conditions of the theorem: a2 + b2 = c2. A number multiplied by itself is called a square, and is represented by the superscript 2. For example, the notation of 3 × 3 is 32; In the same way, a × a is equal to a2.