La civilización China

A pesar de que los desarrollos matemáticos de la antigua Grecia comenzaban a tambalearse durante los últimos siglos antes de Cristo, el floreciente imperio comercial de China fue líder de las matemáticas a alturas cada vez mayores.

El antiguo sistema de numeración chino simple pero eficiente, se remonta a por lo menos al segundo milenio antes de Cristo. Utiliza pequeñas varas de bambú dispuestas para representar los números 1 a 9, que eran entonces lugares en columnas que representan las unidades, decenas, cientos, miles, etc. Por lo tanto, era un sistema de valores decimales, muy similar a la que usamos hoy en día. De hecho, fue el primer sistema de numeración, aprobado por los chinos más de mil años antes de que fuera adoptado en Occidente, logrando hacer incluso cálculos muy complejos de manera rápida y fácil.

Para los números escritos, sin embargo, emplearon un sistema ineficiente porque utilizaban un símbolo diferente para decenas, cientos, miles, etc. en gran parte porque no existía el concepto del Cero, lo que tuvo el efecto de limitar la utilidad de la escritura de los números para los chinos.

El uso del ábaco es a menudo considerado como una idea china, pero algún tipo de ábaco fue utilizado en Mesopotamia, Egipto y Grecia, probablemente mucho antes que en China (el primer ábaco chino, o “suanpan”, en fechas aproximadamente del segundo siglo antes de Cristo).

Había una fascinación generalizada por números y patrones matemáticos en la antigua China, y diferentes números tienen significado cósmico. En particular, los cuadrados mágicos, que son cuadrados de números en los que cada fila, columna y diagonal suman lo mismo, estos se dice que tienen un gran significado espiritual y religioso.

Un caso muy representativo de esto es el de Lo Shu, un cuadrado mágico que suma 15. Según la leyenda, un cierto día por el tercer milenio a. C. se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.  

Estos registros datan de alrededor del año 650 a. C. y continuó su desarrollo hasta el siglo XIII en el que Yang Hui trabajó en los cuadrados mágicos, los círculos mágicos y el teorema del binomio; es reconocido por su presentación del Triángulo Yang Hui. Este triángulo, descubierto por su predecesor Xian Yang Jia, era el mismo que el triángulo de Pascal.

El objetivo principal de las matemáticas chinas fue desarrollado en respuesta a la creciente necesidad del imperio para hacer que los administradores fueran matemáticamente competentes. Un libro de texto llamado “Jiuzhang suanshu” o “Nueve capítulos del arte matemático” (escrito alrededor del 200 a. C.  por una variedad de autores) se convirtió en una herramienta importante en la educación de este tipo de servicio civil, que incluyó cientos de problemas en áreas prácticas, tales como el comercio, la fiscalidad, la ingeniería y el pago de salarios.

Fue particularmente importante como guía para resolver ecuaciones, utilizando un método basado en la matriz sofisticada. Aquella que no apareció en Occidente hasta que Carl Friedrich Gauss la redescubrió a principios del siglo XIX y que ahora se conoce como la eliminación de Gauss. También desarrolla de unas primeras formas de cálculo integral y diferencial.

Los chinos pasaron a resolver ecuaciones mucho más complejas y comenzaron a perseguir los problemas matemáticos más abstractos (aunque generalmente expresada en términos prácticos y no artificiales), incluyendo lo que se conoce como el teorema chino del residuo. Este utiliza el  residuo después de dividir un número desconocido por una sucesión de números más pequeños, tales como 3, 5 y 7, con el fin de calcular el valor más pequeño del número desconocido.

Una técnica para resolver este tipo de problemas, inicialmente planteados por Sun Tzu en el siglo III d. C. y considerado una de las joyas de la matemática, estaba siendo utilizado para medir los movimientos planetarios por los astrónomos chinos en el siglo VI. Aún hoy tiene usos prácticos en disciplinas como la criptografía.

En el siglo XIII, la edad de oro de las matemáticas chinas, había más de 30 escuelas de matemáticos prestigiosos dispersos en toda China. Tal vez el matemático chino más brillante de esta época fue Qin Jiushao, un administrador imperial bastante violento, corrupto y guerrero, que exploró soluciones a ecuaciones cuadráticas e incluso cúbicas utilizando un método de aproximaciones repetidas muy similar a la que más tarde desarrollado en Occidente por Newton en el siglo XVII. Qin incluso extendió su técnica para resolver (aproximadamente) ecuaciones con números elevados hasta la potencia de diez, algo extraordinariamente complejo para su tiempo.

Referencias bibliográficas:

Penalva, Á. y Martínez, J. (2016). Breve Historia de las Matemáticas: La Edad Contemporánea (I): Universidad politécnica de Cartagena. Cartagena, España. Recuperado de http://www.upct.es/seeu/concursos/Breve_Historia_Matematicas_contemporanea.pdf

De J. O. (2015). Historia de la Matemáticas primera parte: REDSOCIAL56. Recuperado de: https://redsocial56.com/2015/02/15/historia-de-las-matematicas/

La civilización India

Resumen:

A continuación se presenta un recorrido histórico por los principales aportes a la matemática por parte de la civilización india. Allí, se abordan desde sus inicios hasta la época actual los principales escritos y autores que dieron un lugar en la historia la matemática india.

Por lo tanto se habla de sus inicios, pasando por sus primeros registros representados en los Sulvasutras en la construcción de templos, pasando por los Siddhantas donde se descubre la función Seno, luego Aryabhata con el sistema posicional de base 10, de ahí hasta Brahmagupta con su aporte al usar los números negativos y el cero.

Abstract:

Next, we present a historical overview of the main contributions to mathematics by the Indian civilization. There, the main writings and authors given a place in the history of Indian mathematics is approached from its beginnings to the present day.

So talking about his beginnings, through his early writings represented in the Sulvasutras in building temples, through the Siddhantas where the sine function is discovered, then Aryabhata with positional base 10 system, hence to Brahmagupta with its contribution to use negative numbers and zero.

La civilización India

            Hay una falta de continuidad de la tradición en la matemática hindú. Por lo que las contribuciones importantes han aparecido como episodios separados en periodos de tiempo largos, sin continuidad.

Es muy probable los primeros registros se hayan dado antes de la mítica fundación de Roma en el 753 a. C. donde usaron sus conocimientos geométricos primitivos para la medición de templos y la medición y construcción de altares, adoptando la forma de un cuerpo de conocimiento conocido como Sulvasutras, que viene de unir los términos Sulva, que significa cuerdas para efectuar mediciones, y Sutra que se refiere a un libro de reglas o aforismos relativos a cierto ritual o ciencia.

El más conocido de los Sulvasutras es el Apastamba, donde se encuentran reglas para la construcción de ángulos rectos por medio de cuerdas cuyas medidas constituyen ternas pitagóricas. Luego, todas estas ternas se pueden derivar fácilmente de la vieja regla babilónica para construirlas, por lo cual es probable que tuvieran una influencia mesopotámica. Es así como Apastamba sabía la forma general del teorema de Pitágoras, que bien pudo haber sido tomada de Mesopotamia.

Estos libros han sigo datados por los historiadores dentro de un intervalo de casi mil años, desde el siglo VIII a. C. hasta el siglo II de nuestra era. Luego de esto sigue la época de los Siddhantas o sistemas astronómicos. Se trata de cinco libros de los cuales solo uno, el Surya Siddhanta o “Sistema del Sol” se conserva completo. Son teorías griegas mezcladas con el viejo Folclore hindú escrito hacia el año 400.

Si bien esta influencia es palpable, los conocimientos trigonométricos adquiridos de Alejandría tomaron una forma significativa en manos de los hindúes. Esto porque:

Mientras la trigonometría de Ptolomeo se basaba en la relación funcional entre las cuerdas y sus correspondientes arcos o ángulos centrales, que ellas subtienden, los escritores de los Siddhantas transformaron esto para convertirlo en un estudio de la correspondencia entre la mitad de la cuerda y la mitad del arco o del ángulo central subtendido por la cuerda total.

Esto no es más que el nacimiento de la función trigonométrica moderna Seno. Por lo tanto, se puede afirmar que esta ha sido la contribución principal de los hindúes a la a la historia de la matemática.

Ya para el siglo sexto, Aryabhata escribió el Araybhatiya, que es una recopilación de desarrollos anteriores. Básicamente hizo una compilación de varios autores de los cuales no se tenían registros escritos, más que pequeños fragmentos. Escrita en verso con el objeto de suplementar las reglas de cálculo utilizadas en astronomía.

En la segunda mitad de este libro se encuentra un elemento nuevo que dejaría huella en la historia: el sistema de numeración posicional decimal. Así, Aryabhata afirmaba que “de un lugar a otro, cada uno es diez veces el que le precede”. Ellos reconocieron que por el principio posicional las cifras que representan los nueve primeros números sirven también como cifra para los correspondientes múltiplos de diez y por consiguiente a cualquier potencia de diez.

Este sistema quedó completo cuando Brahmagupta introduce el cero para representar la nada además adicional a la forma de operar con él y de las operaciones con números negativos. Por lo tanto, lo que se llama el sistema hindú consiste en tres principios básicos: 1. Una base decimal, 2. Una notación posicional y 3. Una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos.

Ninguno de estos principios fue creado por los hindúes, pero lo que sí hicieron fue reunirlos para construir el sistema de numeración moderno. 

 Representantes civilización India

Referencia bibliográfica:

Boyer Carl, B. (1999). Historia de la Matemática. Alianza Editorial. Madrid, España.

 

La civilización Árabe

La civilización Árabe

Su tradición inicial se dio con los estudios de Tabit Ibn Qurra sobre los números amigos. No se sabe cómo continuó, salvo que en el siglo XI, Ibn al – Haytham resolvió problemas de congruencia y que al – Farisi logró nuevos resultados respecto a la descomposición de un número en factores primos. Los números amigos que fueron estudiados por Al Madshritti (muerto en 1007), Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), Pierre de Fermat(1601-1665), René Descartes (1596-1650), a quien se atribuye a veces la fórmula de Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue generalizada por Euler.

Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe el nombre de número perfecto.

Una segunda tradición fue sugerida por el estudio de la Aritmética de Diofanto traducida parcialmente por Qusta Ibn Luqa, la cual suscitó investigaciones sobre la resolución de sistemas de ecuaciones indeterminadas con soluciones enteras o racionales y sobre las tríadas pitagóricas. La tercera dirección concierne al estudio de las series y de series finitas que aparecen en ciertos problemas de álgebra, de probable origen preislámico.

Se reencuentran estos problemas en el capítulo sobre el cálculo de superficies y volúmenes (por el método de exhaución), cuyo origen se remonta a Arquímedes, y en el de los números figurados, cuyo estudio se reactivó gracias a la traducción de la Introducción a la Aritmética de Nicómaco.

Sobre la primera tradición, sólo se ha podido constatar en los textos de al – Andalus y el Magreb el tema de los números amigos. AI – Mutaman, matemático de Zaragoza, insertó en su tratado una nueva traducción del opúsculo de Tabit Ibn Qurra, y encontramos cálculos de parejas de números amigos en las obras de al – Hassar (siglo XII) y Ibn Munçim.

Puesto que ninguno de sus libros se tradujo al latín o al hebreo, no se sabe a través de qué canales circularon esos temas por Europa.

La segunda tradición se halla presente en el Occidente musulmán en forma de problemas resueltos en obras de álgebra, pero no se menciona a Diofanto ni a los matemáticos árabes inspirados por él.

Una tercera tradición se manifiesta en el capítulo de la ciencia del cálculo que trata problemas relativos a la suma y sabemos que su contenido circuló por Europa, bien fuera en escritos latinos y hebreos o en traducciones de textos árabes.

En Geometría se genera una primera tradición a partir de problemas de constructividad de puntos y figuras planas. Tras enfrentarse a menudo con construcciones irresolubles, algunos matemáticos islámicos extendieron la noción de existencia geométrica o algebraica mediante la utilización sistemática de las secciones cónicas. Se realizaron estudios sobre las propiedades de tales curvas y sobre los mejores medios para engendrarlas. Ello permitió resolver, de nuevas y múltiples maneras, los problemas clásicos de la tradición griega: trisección del ángulo, duplicación del cubo, inscripción de polígonos regulares en el círculo. Más tarde, diferentes contribuciones favorecieron la elaboración de la teoría geométrica de las ecuaciones cúbicas.

Una segunda tradición geométrica se dedicó a los problemas de medida (superficies, volúmenes, momento de inercia), lo que permitió volver a obtener resultados perdidos de Arquímedes (como la determinación del área de una sección de parábola) y completar otros.

La tercera tradición geométrica árabe, nacida de una lectura crítica de los Elementos de Euclides, permitirá extender las operaciones aritméticas a los irracionales positivos, elaborar nuevas reflexiones sobre los fundamentos de la Geometría (en particular, sobre el postulado de las paralelas) y redefinir el concepto de razón, lo que permitiría establecer la noción de número real positivo.

Paralelamente se desarrolló otro tipo de reflexión hasta el siglo XI, concerniente a los problemas de construcción y razonamiento geométricos, que luego se extendió a todos los instrumentos de demostración (análisis y síntesis, reducción al absurdo, inducción). De hecho es una verdadera tradición, constituida a partir de elementos ya presentes en el corpus filosófico y matemático griego. Sus artífices son Tabit Ibn Qurraa en el siglo IX, Ibrahim Ibn Sinan y as-Siji en el siglo X, Ibn al-Haytham en el XI, y probablemente otros cuyos escritos no han llegado hasta nosotros y que futuras investigaciones podrían revelar.

Se ha comenzado a determinar aspectos relativos a la circulación de esas diferentes tradiciones geométricas orientales. Respecto a la primera, disponemos de dos testimonios poco conocidos que permiten asegurar que llegó a al – Andalus y al Magreb. El matemático magrebí Ibn Haydur menciona dos escritos orientales sobre la inscripción del heptágono. Se trata de las epístolas de as-Sagani (siglo X) y de Abu Muhammad. El mismo autor menciona un texto atribuido a un matemático hindú que toma como valor aproximado del lado del heptágono inscrito la mitad del lado del triángulo equilátero inscrito en el círculo.

El segundo testimonio, mucho más importante, es el del filósofo zaragozano Ibn Bajá, Avempace para los latinos, que da informaciones precisas sobre los trabajos de su profesor Ibn Sayyid, de Valencia, y sobre sus propios trabajos concernientes al estudio de las cónicas y su uso para generar nuevas curvas planas, que habrían sido usadas para resolver dos generalizaciones de problemas clásicos: el de la determinación de n medias proporcionales entre dos magnitudes dadas (que generaliza el problema para dos medias, resuelto ya por los griegos) y el de la multisección de un ángulo (que generaliza el de la trisección).

Hay que señalar que en el siglo XII se consideraban ambas generalizaciones como no resueltas todavía; al menos es lo que dice el gran matemático as – Sama"wal. Este hecho por sí mismo nos permite afirmar no sólo que el contenido del corpus geométrico clásico (cuyo conocimiento es indispensable para dedicarse a problemas nuevos del mismo tipo) era conocido en ciertos foros científicos hispanos, sino que sus matemáticos se hallaban bien informados sobre los problemas en que trabajaban los matemáticos islámicos orientales y participaron activamente en su resolución.

Para la segunda tradición no se dispone más que de los libros de al – Mutaman, que nunca se refiere explícitamente a sus fuentes, pero que debido a la diversidad de temas tratados en sus obras y a las maneras en que lo hizo, se podría afirmar que una gran parte de la tradición árabe relativa a Arquímedes llegó a al – Andalus, incluso si las pruebas concretas de que se dispone, se refieren solo al escrito de Ibrahim Ibn Sinan sobre el cálculo del área de una porción de parábola.

En lo que concierne a la tercera tradición, se sabe desde hace poco tiempo que la contribución más importante de Ibn al – Haytham en este campo, su Libro sobre el análisis y la síntesis, llegó a Zaragoza como muy tarde en la segunda mitad del siglo XI. La copia sirvió para la redacción de algunos capítulos del libro de al-Mutaman.

En trigonometría, los primeros pasos dados en Oriente consistieron en extender y mejorar las tablas hindúes de senos y cosenos, y luego introducir funciones nuevas: tangente, cotangente, secante y cosecante. Más tarde se establecieron las relaciones fundamentales entre estas seis funciones, siendo la más célebre el teorema del seno, que servirá para el cálculo de los elementos del triángulo esférico, y que sobre todo permitirá ahorrarse el uso del teorema de Menelao (siglo I), instrumento menos efectivo para los calculistas.

La importancia de estas nuevas herramientas llevaría a los astrónomos a dedicarles capítulos autónomos. Es lo que hicieron Ibn Iraq, en Asia central y Abu l – Wafa, en Bagdad. Esas contribuciones puramente matemáticas favorecieron el proceso de autonomía de la trigonometría en relación a los problemas astronómicos que permitieron su desarrollo. Esta autonomía está ya patente en el libro de al – Biruni, Las claves de la Astronomía, y se completa en el tratado de Nasir ad – Din at – Tusi, El libro de la figura secante.

No hay elementos que permitan asegurar que estas dos últimas obras fueron conocidas en Europa, pero eso no significa que los métodos y resultados que contienen no hayan circulado mediante obras menos importantes o más especializadas.

En efecto, según el matemático magrebí del siglo XIV Ibn Haydur, el teorema del seno era accesible en su época (y por tanto también en los siglos XII y XIII) sea a través de una obra de Ibn Muadh (muerto después de 1050), un matemático de Jaén, sea a través de otro especialista hispano, Jabir Ibn Aflah, sea a través del apéndice añadido por el filósofo Avicena a su resumen del Almagestode Ptolomeo. Ibn Haydur supone incluso que ningún escrito oriental de trigonometría, distinto del de Avicena, llegó al Occidente musulmán. Si eso fuera cierto habría ahí otro ejemplo de ruptura, aún inexplicada, en la circulación de importantes resultados científicos.

Algunos representantes y sistemas de numeración:

Referencia bibliográfica:

Límaco, R. J. (2009). Historia de las matemáticas: La civilización árabe. Monografías.com. Recuperado de http://www.monografias.com/trabajos81/matematica-arabe/matematica-arabe3.shtml