A
través de la historia…
Las
matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las
magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a
la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX
las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o
como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca
la lógica matemática o simbólica, ciencia que consiste en utilizar símbolos
para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en
definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos
en relaciones y teoremas más complejos.
En
los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se
pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras
geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente,
en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran
abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.
Las
primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer
milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la
aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención
de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.
Los
egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fracción B,
para expresar todas las fracciones. Utilizando este sistema, los egipcios
fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como
problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas
correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el
volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para
calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado
U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando
la constante pi (3,14).
Las
matemáticas en Grecia
Los
griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los
egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas
abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y
demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI
a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos.
Las
matemáticas en la edad media
En
Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de
estos matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que
dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente
a esta tradición. Sin embargo, los primeros avances matemáticos consecuencia
del estudio de estas obras aparecieron en el mundo árabe.
Las
matemáticas en el mundo islámico
En
el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de
extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas
y de grado superior. El matemático árabe Al-Jwarizmì, (de su nombre
procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de
la palabra álgebra), desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la
completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los
geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de
Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de
las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas
al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica
utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas
trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta
la publicación del "De triangulis omnimodis" (1533) del
astrónomo alemán Regiomontano.
Las
matemáticas durante el renacimiento
Aunque
el final del período medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos
sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta
principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de
trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de
las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el
matemático italiano Gerolamo Cardano en su "Ars magna".
Avances
en el siglo XVII
El
siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés
John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon
Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los
astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.
Otro
avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la
teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat
sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de
puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés
Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos
con dados, que fue publicado en el " Ars
coniectandi" (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli. Tanto
Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su "Doctrina del
azar" de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar
rápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en
pujantes compañías de seguros.
Situación
en el siglo XVIII
Durante
el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y
Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física,
astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos
nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli
inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Gaspard Monge la
geometría descriptiva.
Las
matemáticas en el siglo XIX
En
1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico
y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades
finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo
problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de
cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático
alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los
números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la
actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass
también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.
Un
problema más importante que surgió al intentar describir el movimiento de
vibración de un muelle —estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el
de definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el
matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático
alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos
actuales.
Las
matemáticas actuales
En
la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el
matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en
Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma
sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico
"Fundamentos de la geometría" (1899) a su "Fundamentos de
la matemática" en colaboración con otros autores. La conferencia de
Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía
podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba.
Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos
matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los
"problemas de Hilbert" ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional
espera los detalles con impaciencia.
Geometría
Rama
de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más
elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del
área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos
sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría
descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones,
geometría fractal, y geometría no euclídea.
Álgebra
Rama
de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones
aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del
álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.
La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones
matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo
rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos
particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 +
42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que
cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2. Un
número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se
representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 × 3 es
32; de la misma manera, a × a es igual que a2.
Through history…
Mathematics was considered as the science of quantity,
referred to magnitudes (as in geometry), to numbers (as in arithmetic), or to
the generalization of both (as in algebra). By the middle of the nineteenth
century mathematics began to be regarded as the science of relationships, or as
the science that produces necessary conditions. This last notion embraces
mathematical or symbolic logic, a science that consists in using symbols to
generate an exact theory of deduction and logical inference based on
definitions, axioms, postulates, and rules that transform primitive elements
into more complex relationships and theorems.
In the prehistoric designs of ceramics, textiles and
rock paintings one can find evidence of the geometrical sense and interest in
geometric figures. Primitive calculus systems were probably based on the use of
one- or two-handed fingers, which is evident from the great abundance of
numerical systems in which the bases are numbers 5 and 10.
The earliest references to advanced and organized
mathematics date back to the third millennium BC in Babylon and Egypt. These
mathematics were dominated by arithmetic, with some interest in geometric
measurements and calculations and without mention of mathematical concepts such
as axioms or demonstrations.
The Egyptians used sums of unit fractions (a),
together with fraction B, to express all fractions. Using this system, the
Egyptians were able to solve arithmetic problems with fractions as well as
elemental algebraic problems. In geometry they found the right rules for
calculating the area of triangles, rectangles and trapezoids, and the volume
of figures such as orthohedra, cylinders and, of course, pyramids. To calculate
the area of a circle, the Egyptians used a square of side U of the diameter
of the circle, very close to that obtained using the constant pi (3.14).
Mathematics in Greece
The Greeks took elements of the mathematics of the
Babylonians and the Egyptians. The most important innovation was the invention
of abstract mathematics based on a logical structure of definitions, axioms and
demonstrations. According to Greek chroniclers, this advance began in the sixth
century BC. With Thales of Miletus and Pythagoras of Samos
Mathematics in the Middle Ages
In Greece, after Ptolemy, established the tradition of
studying the works of these mathematicians of previous centuries in the
schools. The fact that these works have been preserved to this day is mainly
due to this tradition. However, the first mathematical advances resulting from
the study of these works appeared in the Arab world.
Mathematics in the Islamic
world
In the twelfth century Persian mathematician
Omar Jayyam generalized Indian methods of extracting square and cubic roots to
calculate fourth, fifth and fifth degree roots. The Arabic mathematician
Al-Jwarizmì (from his name comes the word algorithm, and the title of one of
his books is the origin of the word algebra), he developed the algebra of the
polynomials; Al-Karayi completed it for polynomials even with infinite number
of terms. The geometers, like Ibrahim ibn Sinan, continued the investigations
of Archimedes on areas and volumes. Kamal al-Din and others applied the theory
of conics to the resolution of optical problems. The mathematicians Habas
al-Hasib and Nasir ad-Din at-Tusi created flat and spherical trigonometry using
the sine function of the Indians and Menelaus's theorem. These trigonometries
did not become mathematical disciplines in the West until the publication of
the "De triangulis omnimodis" (1533) of the German astronomer
Regiomontano.
Mathematics during the
Renaissance
Although the end of the medieval period witnessed
important mathematical studies on problems of the infinite by authors like
Nicole Oresme, it was not until the early sixteenth century when a mathematical
discovery of transcendence was made in the West. It was an algebraic formula
for the resolution of the third and fourth degree equations, and was published
in 1545 by the Italian mathematician Gerolamo Cardano in his "Ars
magna".
Advances in the seventeenth
century
The century began with the discovery of logarithms by
the Scottish mathematician John Napier (Neper); Its great utility led the
French astronomer Pierre Simon Laplace to say, two centuries later, that Neper,
by reducing the work of astronomers by half, had doubled his life.
Another important advance in the mathematics of the
seventeenth century was the appearance of the theory of probability from the
correspondence between Pascal and Fermat on a problem present in gambling, the
so-called problem of points. This work was not published, but led the Dutch
scientist Christiaan Huygens to write a small booklet on probability in dice
games, which was published in the "Ars coniectandi" (1713) by the
Swiss mathematician Jacques Bernoulli. Both Bernoulli and Frenchman Abraham De
Moivre, in their "Doctrine of Chance" of 1718, used the newly
discovered calculation to advance rapidly in their theory, which by then had
great applications in thriving insurance companies.
Situation in the 18th century
During the rest of the seventeenth century and much of
the eighteenth century, Newton and Leibniz's disciples relied on their work to
solve various problems of physics, astronomy and engineering, which allowed
them, at the same time, to create new fields within mathematics . Thus the
brothers Jean and Jacques Bernoulli invented the calculus of variations and the
French mathematician Gaspard Monge the descriptive geometry.
Mathematics in the 19th
century
In 1821, a French mathematician, Augustin Louis
Cauchy, got a logical and appropriate approach to calculus. Cauchy based his
view of calculus only on finite quantities and the concept of limit. However,
this solution posed a new problem, that of the logical definition of real
number. Although Cauchy's definition of calculation was based on this concept,
it was not he but the German mathematician Julius W. R. Dedekind who found a
suitable definition for real numbers, from the rational numbers, which is still
taught today; The German mathematicians Georg Cantor and Karl T. W. Weierstrass
also gave other definitions almost at the same time.
A more important problem that arose when attempting to
describe the vibrational motion of a quay - first studied in the eighteenth
century - was to define the meaning of the word function. Euler, Lagrange and
the French mathematician Joseph Fourier provided solutions, but it was the
German mathematician Peter G. L. Dirichlet who proposed its definition in the
present terms.
Current Mathematics
At the International Mathematical Conference held in
Paris in 1900, the German mathematician David Hilbert expounded his theories.
Hilbert was a professor at Göttingen, the academic home of Gauss and Riemann,
and had contributed substantially in almost all branches of mathematics, from
his classic "Foundations of Geometry" (1899) to his "Foundations
of Mathematics" in Collaboration with other authors. Hilbert's lecture in
Paris consisted of a review of 23 mathematical problems that he believed might
be the goals of mathematical research of the beginning of the century. These
problems, in fact, have stimulated much of the mathematical work of the
twentieth century, and every time news comes that another "Hilbert
problem" has been solved, the international mathematical community awaits
details impatiently.
Geometry
Mathematical branch that deals with the properties of
space. In its most elementary form, geometry is concerned with metrical
problems such as calculating the area and diameter of flat figures and the
surface and volume of solid bodies. Other fields of geometry are analytic
geometry, descriptive geometry, topology, geometry of spaces with four or more
dimensions, fractal geometry, and non-Euclidean geometry.
Algebra
A branch of mathematics in which letters are used to
represent arithmetic relationships. As in arithmetic, the fundamental
operations of algebra are addition, subtraction, multiplication, division, and
calculus of roots. Arithmetic, however, is not able to generalize mathematical
relationships, such as the Pythagorean theorem, which states that in a right
triangle the square side area of the hypotenuse is equal to the sum of the
areas of the squares of side the Cathets Arithmetic only gives particular cases
of this relation (eg, 3, 4 and 5, since 32 + 42 = 52). Algebra, on the other
hand, can give a generalization that satisfies the conditions of the theorem:
a2 + b2 = c2. A number multiplied by itself is called a square, and is
represented by the superscript 2. For example, the notation of 3 × 3 is 32; In
the same way, a × a is equal to a2.
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